Ne vous êtes-vous jamais demandé : A combien de kilos ai-je tendu ma longline ?
Nous tout le temps. Alors un soir de pluie, avec mon ami Christophe, nous avons (ou plutôt il a) posé le problème à plat, forts de nos BAC+trop d'années inutiles à user les bancs d'écoles.
Résultat, une thèse très simple avec des approximations qui devrait nous permettre en connaissant quelques données d'en déduire la tension qui fait peur : LA TENSION dans MA longline...
Petit schéma :
Soient :
- L : longueur de la longline
- f : la flèche au milieu
- P : le poids du slackliner se tenant au milieu de la sangle et provoquant la flèche sus-mentionnée.
- T : la composante horizontale de la Tension de la longline qui permet au slackliner de ne pas toucher au sol.
Et bien en vertu d'un Théorème bien connu "Thalés" pour ceux qui se souviennent, on obtient la relation hyper simple : (P/2)/T = f /(L/2)
D'où l'on peut en déduire que : T = LP/(4f)
Voici déjà une bonne approximation de la tension dans la longline avec cette force T.
Car non ce n'est pas la tension dans la longline exactement mais la composante horizontale de la tension de la longline.
Ajoutons :
- a : l'angle formé par l'horizontale et la longline au niveau de l'ancrage.
Si l'on veut obtenir la tension réelle dans l'axe de la longline (celle que le dynamomètre mesure), la relation se complexifie un peu : Treelle = T/cos(a)
Et l'on connait cos(a) par la relation dans un triangle rectangle cos(a) = côte adjacent/hypoténuse
Avec côté adjacent = L/2 et hypoténuse = sqrt(f x f + L x L /4)
Mais avant de sombrer dans la dépression mathématique, regardons ce que vaut un angle a dans l'exemple d'une longline de 100m avec 2m de fléche pour une personne pesant 80kg : 2,29°.
Que vaut le cos(2,29°) = 0,999. Autant dire 1.
Donc ouf ! La tension Treelle est réellement très proche de T.
Conclusion : Si vous arrivez à tendre une longline d'une longueur connue telle qu'une personne d'un poids connu crée une flèche connue en son milieu sans toucher par terre, alors vous savez que la tension générée aux ancrages vaut approximativement : T = LP/(4f)
Remarques intéressantes :
- la force de tension est indépendante du type de sangle. Que vous ayez une sangle basique, ou la dernière sangle en vectran, pour la longueur, la flèche et le poids de la personne qui fait le test, la force restera la même. Cependant, avec une sangle élastique, vous n'arriverez tout simplement pas à tendre la slackline assez avant sa rupture. Notez qu'on néglige ici le poids propre de la sangle dans ce modèle.
- L'élasticité n'intervient pas dans ce modèle statique. L'élasticité intervient cependant dans toute la phase de tension (ce qui fait qu'on arrive ou non à tendre la longline pour ne plus toucher au milieu). Les sangles les plus fortes (Vectran données pour 8T à la rupture) cassent aussi parfois vers 2T. La théorie mise en oeuvre lors de la tension d'une longline est beaucoup plus complexe à mon avis.
(ERRATUM CORRECTION)
- La différence de tension entre la tension à vide de la slackline, et la tension avec quelqu'un dessus fait intervenir l'élasticité de la sangle.
En effet, si on prend le cas extrème d'une sangle sans poids propre, totalement inélastique, alors il n'y a pas besoin de la tendre, il suffit juste de la placer pour que le slackeur ne touche pas le sol, et la tension sera appliquée dès que le slacklineur marchera dessus. A fortiori donc, une sangle très statique aura une tension à vide plus faible qu'une sangle plus élastique, ce qui se vérifie en pratique lorsque vous comparez la tension à vide à mettre dans une Moonwalk (4,4% à 15kN et 33,4g/m) par rapport à une Dark Blue (5,5% à 15kN et 66g/m) pour une même flèche.
Conclusion :
Plus vous mettrez vos ancrages haut, moins vous aurez à tendre.
Si vous gardez en tête cette formule T = LP/4f, avec des approximations, vous pourrez vous dire si vous avez ou non de la marge sur votre système.
Une slackline de 100m avec 2m de flèche pour une personne de 80kg nécessite une tension d'1T. La même slackline avec 1m de flèche nécessitera 2T.
Si vous avez des doutes sur ce calcul, n'hésitez pas à nous écrire et à nous démontrer qu'il est faux.
Un grand merci à Christophe pour les souvenirs de mécanique !
A vos calculettes pour les abaques.
